INDUKSI - MATDIS

INDUKSI

hai balik lagi di blog aku. tidak usah berlama-lama kita lanjutkan saja pembahasan kita mengenai induksi. 

APAKAH INDUKSI ITU?

Induksi matematika adalah metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat. induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. dan induksi matematika dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

misalkan :

jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2

pembuktian:

 misalkan n=6 >> p(6) adalah "jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 6 adalah 6(6+1)/2"

 terlihat bahwa :

              1+2+3+4+5+6=21 >> 6(7)/2=21

 sehingga proposisi (pernyataan) tersebut benar.

PRINSIP INDUKSI SEDERHANA

Induksi matematika ini dapat di artikan "setiap bilangan real N kita memiliki pernyataan P(n) yang bisa benar atau salah.

misalkan : P(n) adalah proposisi bilangan bulat dan ingin di buktikan bahwa P(n) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n. maka langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

           P(n) benar

           jika P(n) benar, maka P(n+1) juga benar untuk setiap n>=1. sehingga p(n) bernilai benar untuk            semua bilangan bulat positif n.

PRINSIP INDUKSI SEDERHANA

• Basis Induksi

          basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan benar bila n diganti dengan             1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil. buat implikasi untuk fungsi berikutnya benar           untuk setiap bilangan bulat positif.   

• Langkah Induksi

          langkah induksi yakni berisi asumsi (andalan) yang menyatakan bahwa p(n) benar. asumsi                   tersebut di namakan hipotesis induksi.

bila kedua langkah tersebut benar maka pembuktian bahwa p(n) benar untuk semua bilangan positif n. 

contoh: tunjukkan bahwa untuk n>=1, 1+2+3+......+n=n(n+1)/2 melalui induksi matematika.

             pembuktian : 

•  basis induksi

           p(1) benar >> n=1 diperoleh dari:

           1 = 1(1+1)/2

              = 1(2)/2

              = 1    

• langkah induksi

          misalkan p(n) benar >> asumsi bahwa :

               1+2+3+....+n = n(n+1)/2

          adalah benar (hipotesis induksi). perlihatkan bahwa p(n+1) juga benar yaitu:

          1+2+3+.....+n+(n+1) = (n+1)[(n+)+1]/2

          1+2+3+.....+n+(n+1) = (1+2+3+....+n) + (n+1)

                                            = [n(n+1)/2]+(n+1)

                                            = [(n2"n pangkat 2"+n)/2]+(n+1)

                                            = [(n2 "n pangkat 2" + n)/2]+[(2n+2)/2]

                                            = (n2 "n pangkat 2" +3m +2)/2

                                            = (n+1)(n+2)/2

                                            = (n+1)[(n+1)+1]/2

    dari kedua langkah di atas dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, terbukti         bahwa untuk semua n>=1, 1+2+3....+n=n(n+1)/2.

    PRINSIP INDUKSI YANG DIRAMPATAKAN

   

   prinsip induksi sederhana dapat di rampatkan. misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat n>=n0. untuk membuktikan perlu menunjukkan bahwa p(n0) benar. jika p(n) benar. maka p(n+1) juga benar untuk setiap n >= n0. sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n >=n0.

sekian terima kasih..:) semoga bermanfaat